【幂级数求和函数】在数学分析中，幂级数是一种形式为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n$ 的无穷级数，其中 $a_n$ 是系数，$c$ 是展开中心。幂级数在收敛区间内可以表示为一个函数，称为其“求和函数”。通过研究幂级数的求和函数，可以更好地理解其性质，并用于近似计算、微分方程求解等。
以下是对常见幂级数及其求和函数的总结：
| 幂级数表达式 | 收敛半径 $R$ | 求和函数 $f(x)$ | 定义域（收敛区间） |
| $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ | 1 | $\frac{1}{1 - x}$ | $(-1, 1)$ |
| $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$ | 1 | $\frac{1}{1 + x}$ | $(-1, 1)$ |
| $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ | $\infty$ | $e^x$ | $(-\infty, \infty)$ |
| $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ | $\infty$ | $\cos x$ | $(-\infty, \infty)$ |
| $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ | $\infty$ | $\sin x$ | $(-\infty, \infty)$ |
| $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ | 1 | $-\ln(1 - x)$ | $(-1, 1]$ |
| $\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n$ | 1 | $(1 + x)^\alpha$ | $(-1, 1)$（$\alpha$ 为任意实数） |
总结：
幂级数的求和函数是其在收敛区间内的实际值表达式，通常可以通过已知的初等函数或特殊函数来表示。不同类型的幂级数对应不同的求和函数，且它们的收敛范围也各不相同。掌握这些常见的幂级数及其对应的求和函数，有助于快速判断级数的和，并在实际问题中进行应用。
在处理具体问题时，可以通过逐项积分、逐项求导、代入变量替换等方式，将复杂的函数表示为幂级数形式，从而更方便地进行分析与计算。