问cosx 的 n 次方积分公式推导 降幂递推详细演算

cosx 的 n 次方积分也就是不定积分∫cosⁿx dx，核心推导方法是分部积分法建立递推公式，这个积分也叫余弦幂积分，递推公式可以把高次幂的积分，不断降阶变成低次幂积分，一直降到 n 等于 0 或者 n 等于 1 的基础积分，最终得到结果，这个方法是高数定积分和不定积分里面三角函数高次幂积分的标准解法，同样的思路也可以推广到 sinx 的 n 次方积分。推导的底层原理是分部积分公式，把 cosⁿx 拆成 cosⁿ⁻¹x 乘以 cosx，把其中一部分当成 u，另一部分 dv，分部积分之后会出现 sin²x，再利用 sin²x 等于 1 减 cos²x 进行替换，整理同类项之后就能解出递推关系式，这个推导过程是考研高数 大学微积分的高频考点，需要注意 n 是正整数，递推公式分为通用形式，还有 0 到 π/2 区间的华里士公式，也就是 Wallis 公式，定积分版本会比不定积分版本形式更简洁。

准备基础公式

分部积分公式 ∫u dv = uv − ∫v du

三角恒等式 sin²x = 1 − cos²x

基础积分结果

n=0 的时候 ∫cos⁰x dx = ∫1 dx = x + C

n=1 的时候 ∫cosx dx = sinx + C

递推公式完整推导步骤

第一步 拆分被积函数

令 Iₙ = ∫cosⁿx dx

改写 cosⁿx = cosⁿ⁻¹x・cosx

取 u = cosⁿ⁻¹x dv = cosx dx

求导和积分

du = (n−1) cosⁿ⁻²x・(−sinx) dx

v = ∫cosx dx = sinx

第二步 代入分部积分公式

Iₙ = uv − ∫v du

代入之后

Iₙ = cosⁿ⁻¹x sinx − ∫ sinx・[−(n−1) cosⁿ⁻²x sinx ] dx

负号抵消，得到

Iₙ = cosⁿ⁻¹x sinx + (n−1) ∫ sin²x cosⁿ⁻²x dx

第三步 三角恒等替换

把 sin²x 替换成 1 − cos²x

Iₙ = cosⁿ⁻¹x sinx + (n−1) ∫ (1−cos²x) cosⁿ⁻²x dx

展开积分

Iₙ = cosⁿ⁻¹x sinx + (n−1) ∫cosⁿ⁻²x dx − (n−1) ∫cosⁿx dx

注意后面这个积分就是 Iₙ

Iₙ = cosⁿ⁻¹x sinx + (n−1) Iₙ₋₂ − (n−1) Iₙ

第四步 移项合并同类项，解出 Iₙ

把含有 Iₙ的项全部移到左侧

Iₙ + (n−1) Iₙ = cosⁿ⁻¹x sinx + (n−1) Iₙ₋₂

n Iₙ = cosⁿ⁻¹x sinx + (n−1) Iₙ₋₂

最终得到不定积分递推公式

Iₙ = (1/n) cosⁿ⁻¹x sinx + ((n−1)/n) Iₙ₋₂ + C

递推使用规则

n 是大于等于 2 的正整数，每次降阶都是减 2，所以偶数次幂和奇数次幂会分别降到不同的基础项

n 为偶数，一直降到 I₀，结果里面会保留 x 项

n 为奇数，一直降到 I₁，结果里面全部是三角函数，没有单独 x 项

定积分版本 0 到 π/2 华里士公式

如果积分区间是 0 到 π/2，记 Jₙ = ∫₀^(π/2) cosⁿx dx

代入递推，边界项 cosⁿ⁻¹x sinx 在上下限代入之后等于 0

递推变成 Jₙ = ((n−1)/n) Jₙ₋₂

最终结果

n 为偶数 Jₙ = ((n−1)/n)・((n−3)/(n−2))…(1/2)・(π/2)

n 为奇数 Jₙ = ((n−1)/n)・((n−3)/(n−2))…(2/3)・1

递推对照表

易错点说明

第一 分部积分选 u 和 dv 不能选错，如果拆分方式不对，就无法得到 sin²x 替换的结构，推导会卡住

第二 不定积分最后一定要加上积分常数 C，定积分版本不需要加 C

第三 递推是每次降 2 阶，不是降 1 阶，计算高次幂的时候不要算错阶数

第四 华里士公式只适用于 0 到 π/2 区间，不能直接套用到任意区间的不定积分

【常见问题】

问题 1 cosx 的 n 次方积分公式推导为什么要用分部积分法

回答 1 cosx 的 n 次方积分公式推导选用分部积分法，是因为高次幂三角函数没有直接积分原函数，分部积分可以拆分幂次，配合 sin²x 恒等式，建立降阶递推关系，是这类积分最标准的推导方案。

问题 2 cosx 的 n 次方积分公式推导得到的递推公式可以直接计算所有 n 吗

回答 2 cosx 的 n 次方积分公式推导得到的递推公式，需要反复迭代，一直降到 n 等于 0 或者 n 等于 1 的基础积分，不能一步直接得到任意 n 的闭式结果，必须循环降阶计算。

问题 3 cosx 的 n 次方积分公式推导和 sinx 的 n 次方推导是不是思路一样

回答 3 cosx 的 n 次方积分公式推导，和 sinx 的 n 次方积分推导思路一致，都是分部积分建立递推，只是三角恒等式替换部分略有差别，递推结构基本相同。

问题 4 cosx 的 n 次方积分公式推导里面华里士公式和不定积分递推有什么差别

回答 4 cosx 的 n 次方积分公式推导里面，不定积分递推带有边界余项 cosⁿ⁻¹x sinx，华里士公式是 0 到 π/2 定积分，上下限代入之后余项等于 0，递推式更加简洁。

【免责申明】

本内容为高等数学学习推导参考，推导默认 n 为正整数，不包含 n 为负数 分数等广义幂积分情形，正式考试解题请结合题目区间与题型要求，本推导不覆盖复变积分等拓展场景。